Odlomki iz Spike, april 2004.
Janez Strnad
Baron Jurij Vega (1754-1802) je znaten del učbenika Predavanja iz matematike namenil zadevam, ki jih dandanes navadno štejemo k fiziki. Kaže, da je v fiziki videl predvsem uporabno matematiko. V tretjem delu (1788) je obdelal »mehaniko trdnih teles« z gibanjem izstrelkov in planetov in v četrtem (1800) »osnove hidrodinamike, aerostatike, hidravlike in upora v tekočinah«. Nekatere ugotovitve je razvil dalje in jih objavil v knjižicah. V treh se je dotaknil gravitacije:
Baron Jurij Vega (1754 - 1802):
matematik, posredno tudi astronoma, artilerijski častnik in balistik ...
Matematično raziskovanje oblike trdne krogle, ki se enakomerno vrti okoli nepremične osi in posledice te predpostavke za astronomijo, geografijo in mehaniko glede na zemeljski sferoid (1798),
Poskus razkriti tajnost v znanem nauku splošne gravitacije (1800),
Raziskovanja o izračunu mas nebesnih teles in Sonca z njihovimi povprečnimi oddaljenostmi in obhodnimi časi (1801 ) (v latinščini).
®
Razpravljal je tudi o metričnem sistemu se zavzel zanj in za uvedbo v Avstro-0; (1801, 1802, izšlo po smrti: 1803, 1804
Razpravo o računanju mas Sonca in planetov je vredno razčleniti. V tretjem delu Predavanj iz matematike je Vega izpeljal izboljšani tretji Keplerjev zakon, tako da je zasledoval gibanje planeta z maso mp in Sonca z maso M:
G(M+mp)=4p2ap3/Tp2 (1)
Pri tem je odmislil delovanje drugih planetov in upošteval gibanje enega od planetov in Sonca okoli mirujočega skupnega težišča. a,, je srednja oddaljenost planeta od Sonca in TP zvezdni obhodni čas planeta. Izboljšani Keplerjev zakon je poznal že Isaac Newton. Zakon. (1) preide v prvotni Keplerjev zakon
GM =4p2ap3/Tp2 ( 1 a)
če maso planeta zanemarimo v primeri z maso Sonca in tako vzamemo, da Sonce miruje. Z zakonom (la) lahko izračunamo ma a, mase planeta pa ne. Na prvi pogled se zdi, da zakonom ( 1 ) lahko izračunamo tudi maso planeta. Kaže, da je tako mislil tudi J. Vega. Po glejmo, kako je s tem.
čeprav se sicer poskušamo držati Vegovih znakov in enačb, smo zakona (1) in (la) napisali tako, kakor ju zapišemo danes. Gravitacijsko konstanto G je prvi izmeril Henry Cavendish, ki je v članku Poskusi za določitev gostote Zemlje leta 1798 poročal o merjenjih gravitacije med kroglama s torzijsko tehtnico. S povprečno gostoto Zemlje (5,5 . krat večjo od gostote vode) je prvi izračunal maso Zemlje. Zanimivo je, da bi lahko gravitacijsko konstanto ocenil že I. Newton, če bi bolj zaupal svoji oceni, da je povprečna gostota Zemlje petkrat večja od gostote vode. Vse kaže, da Vega ni edel za Cavendisheva merjenja. Na to ne sklepamo samo po tem, da je dosledno navajal razmerje mas planeta in Zemlje.
Zakon (1) zapišimo za Zemljo in izpostavimo maso Zemlje m:
Gm(M/m + 1) = 4p2a3/T2 sledi M/m = 4p2a3/(gr2T2) -1 (2)
T je zvezdno leto in a povprečna oddaljenost Zemlje od Sonca, naša astronomska enota. Po Newtonovem gravitacijskem zakonu
m'g = Gmm'/r2
za telo z maso m' na površju Zemlje s polmerom r je
Gm = gr2
s pospeškom prostega padanja na površju Zemlje g. I. Newton je ugotovil, da smemo krogelno simetrično telo nadomestiti s točkastim telesom v srediscu. Zadnlo enačbo (2) je zapisal J. Vega in z njo dobil za razmerje med maso Sonca in maso Zemlje M/m = 339.676. (Vega je izračunal to razmerje tudi s sinodskim obhodnim časom Zemlje, kar kaže na njegovo veselje do računanja.) Z zakonom (la) bi dobili razmerje 339.677, ki bi bilo samo za 1 večje.
Račun z enacbo (2) ponovimo s sodobnimi podatki. Pri tem uporabimo »geocentrično gravitacijsko konstanto« Gm = 3,98600442 · 1014 m3/s2, ki jo poznamo precej natančneje kot gravitacijsko konstanto. Ta je od vseh osnovnih konstant izmerjena najmanj natančno, z relativno nenatančnostjo 10-4.
Za razmerje mase Sonca in Zemlje dobimo 332.946, kar se z vsmni zapisanimi mesti ujema z »inverzno maso Zemlje«
M/m = 332.946,043
Vegov rezultat je za približno 2% večji. Kako naj bi ob tem Vega z zakonom (1) dobil uporabna razmerja mase planeta z maso Zemlje, če zakon (1) prinese samo relativno spremembo 1/339.676 = 2,9 · l0-6 glede na zakon ( 1 a)? 0be strani enačbe (2) pomnožimo z m in pridemo do enačbe: 2 3 3 2
m/m = 4p2a3/(Gmt2) - M/m = (M/m + 1)(a/a)3/(t/T)2 - M/m (3)
V njej je a srednja oddaljenost kakega drugega planeta od Sonca, m njegova masa in t njegov zvezdni obhodni čas. S to enačbo je J. Vega računal mase planetov. V njej moramo zelo veliko število odšteti od števila, ki se zelo malo razlikuje od njega. Zaradi tega se kritično poslabša relativna napaka rezultata. Upoštevati moramo, da je po zakonu (1a) (a/a)3/(t/T)2 = 1. Vegovi podatki so bili premalo natančni, da bi bilo z njimi mogoče dobiti uporabne rezultate (preglednica spodaj). Po tej poti je z današnjimi podatki mogoče oceniti kvečjemu Jupitrovo maso, za katero dobimo M/m = 324,6. Pri drugih planetih s precej manjšo maso pa ni mogoče dobiti niti ocene. Vega je upošteval tudi Uran, ki so ga odkrili leta 1781.
Mase planetov s sateliti so lahko izračunali z zakonom ( 1 a) s podatki o satelitih. Ni rečeno, da P. S. de Laplace mas planetov s sateliti ni dobil po tej poti. Zanimivo je, da so celo Vegovi rezulati po enačbi (3) za planete s sateliti precej natančnejši kot za druge planete. J. Vega le omeml, da je Laplace z enačbo (3) izračunal tudi razmerje
Planet m/m m/m v/m m/m
Vega Laplace enačba(3) sedaj
Merkur 3,5 0,1627 6,8 0,05527
Venera 0,5 0,8603 i,8 0,81499
Zemlja 1 1,0000 1,0 1,00000
Mars 1,3 0,1786 ;0 0,10745
Jupiter 316,2 308,9055 324,6 317,894
Saturn 98,1 98,1217 34,5 95,1843
Uran 10,3 16,9006 501,1 14,5373
Preglednica kaže podatke za mase planetov, ki so jih poznali ob Vegovem času. Drugi stolpec navaja Vegovo vrednost, tretji Laplaceovo vrednost po Vegi, četrti stolpec - za šalo - maso po enačbi (3) s sodobnimi podatki in peti stolpec sodobni podatek za maso. Vsi sodobni podatki so iz knjige K. P. Lang, Astrophysical Data. Planets and Stars, Springer, New York 1992.
Vegova razprava o računaju mase Sonca in planetov - na sliki
naslovnica - obsega i6 strani malega formata. Gre za posebni
c tis iz efemerid za Dunaj za leto 1802.
med maso Galilejevih Jupitrovih satelitov in mase Jupitra. Venc so z enačbo
m/mj = (m/mj)4p2a3/(Gmt2) - 1 = (m/mj)(M/m + 1)(a/a)3/(t/T)2 - 1
podobne težave kot z enačbo (3).
Upoštevati moramo, da so Vegovi računi stari več kot dvesto let. Tudi drugi
fiziki se v tistem času niso ozirali na natančnost pri mer nju. Tako sta na
primer A. L. Lavoisier in P. S. de Laplace v Poroči o toploti leta 1783 navedla
specifično toploto železa s šestimi mesti, čeprav je bila njuna talilna toplota
ledu - delala sta z lednim kalo metrom - za okoli 6% premajhna.
Kaže, da v Osončju, v katerem masa vseh planetov skupaj doseže k maj 0,00134 mase Sonca, ne moremo z izboljšanim Keplerjevim i koncnn izračunati mas planetov z njihovimi srednjimi oddaljeno; mi od Sonca in zvezdnimi obhodnimi časi. Izboljšani tretji Keplerjev zakon je zelo pomemben pri obravnavanju dvojnih zvezd in podo nih sistemov.
Pripomnimo, da pa je z merjenjem Dopplerjevega premika spektra nih črt v svetlobi z zvezd mogoče zasledovati gibanje zvezde okili skupnega težišča zvezde in planeta. Po tej poti so odkrili planete zunaj Osončja. Zares pa je njihova masa večinoma tolikšna kot masa Jupitra ali večja.