Lorentzov faktor: γ = 1 / √(1 − v²/c²)

S → S' (običajna oblika):
x' = γ (x − v t)
t' = γ (t − v x / c²)

S' → S (obratna oblika):
x = γ (x' + v t')
t = γ (t' + v x' / c²)

Posebni primer: Če izberemo t' = 0 (trenutek opazovanja v S'), velja poenostavitev:
x = γ x' = γ R

Velik premik elipse v animaciji ni “napaka” – je posledica Lorentzove transformacije, ki je za x = γ(x′ + vt′) in recimo pri x′ = 0 velja x = γvt′.

---

Matematično dokažimo, zakaj sferični val v premikajočem se sistemu S' res postane elipsa za mirujočega opazovalca, v sistemu S.

V sistemu S', ki se giblje s svetlobnim virom, velja (poenostavidev v 2D) :

x'² + y'² = R'²

- kjer je R' = ct'.

To je sfera (v 2D: krog).

2. Lorentzova transformacija premikajočega se sistema Š' v mirujoči sistem S:

Sistem S' se giblje hitrostjo v v smeri x glede na sistem S:

x = γ(x' + vt'), y = y'

3. Izrazimo x' preko x

x' = x/γ - vt'

4. Nadomestimo v enačbi sfere

Vstavimo x' in y' = y v enačbo sfere:

x'² + y'² = R'²  ==>   (x/γ - vt')² + y² = R'²

Ali tudi:

(x - γvt')²/γ² + y² = R'²

Člene kvadriramo, tako dobimo:

x²/γ² - x2vt'/γ + (vt')² + y² = R'²

Preuredimo:

x²/γ² - x2vt'/γ + y² = R'² - (vt')²

5. Standardna oblika elipse

Za trenutek, če gledamo središče sfere v premikajočem se sistemu (t' = 0), velja:

x²/γ² + y² = R'²

To je enačba elipse, ker:
x-os ima dolžino a = γR'
y-os ima dolžino b = R'

Torej enačba elipse je:



x²/a² + y²/b² = 1
za a = γR' in b=R'

To je torej sedaj, glede na zgornje korake, matematično dokazano:
- sfera se transformira v elipso, raztegnjeno v smeri gibanja.

6. Opomba za poljuben čas t'

Če t' ≠ 0, elipso premaknemo v x-smeri za x_"shift" = γvt', kot je narejeno tudi v kodi te JavaScript animacije:

(x-γvt')²/(γR')² + y²/R'² = 1

Elipsa ni samo raztegnjena, ampak je tudi premaknjena v smeri gibanja.
Pravokotno na smer gibanja ostane oblika nespremenjena.

Glej tudi:
* - Fizika vesolja, fizika velikih hitrosti
* - ali tudi 3D animacijo - Interaktivna Lorentzova elipsa (3D)

Zorko Vičar - 14. nov. 2025

Pomoč pri kodi, tudi AI.