ASTRONOMSKI KROŽEK Gimnazije Šentvid, origami, osnove

Origami - osnove

Beseda origami izhaja iz japonske besede orikami. Ori pomeni prelaganje, kami pa papir. Sprememba kami v gami je posledica posebnosti v japonskem oblikoglasju, ki se imenuje rendaku.
In - ne boste verjeli, origami je izjemno uporaben v arhitekturi (pročelja, žaluzije, senčniki, akustični elementi, ...), medicini (rec. žilne opornice, ...) pa še kje ... in seveda tudi v astronomiji - oz. satelitski tehnologiji.
V laboratoriju Lawrencea Livermora so se lotili izdelave teleskopa iz Fresnelovih leč (The Eyeglass Space Telescope), tudi do premera 100 m (velikost nogometnega igrišča) za geosinhrono (geostacionarno) orbito 42000 km vstran od središča Zemlje. V vesolje se ga da poslati po zaslugi origamistov, ki jim je uspelo zložiti dele Fresnelovih leč v pregibe na končno dimenzijo nekaj metrov, da se objektiv tako lahko spravi v raketo. Fresnelove leče so tanke in zato lahke, primerne za origami komponente - vse to je njihova prednost.
Vir: https://str.llnl.gov/str/March03/Hyde.html
Eden večjih uspehov origami principa je uspešna izdelava vesoljskega teleskopa "The James Webb Space Telescope", premera 6.5 m, ki ga sestavlja 18 šesterokotnih zrcalnih segmentov iz pozlačenega berilija. Da so lahko poslali teleskop z raketo v vesolje, so morali zrcala in velikanski večplastni toplodni ščit po origami principu zložiti v paket, ki je šel v raketo Ariane 5. JWST potuje okoli Sonca blizu druge Lagrangeove točke ( L2 ) sistema Sonce-Zemlja, ki je 1500000 km dlje od Sonca kot Zemljina orbita in približno štirikrat dlje od Lunine orbite. In tam daleč se je origami mehanika po načrtu samodejno (preko računalniških ukazov) razprla - razprl se je toplotni ščit in zrcala so se sestavila v teleskop, kamere so se postavile v nosila blizu gorišča. Projekt je uspel. Teleskop je dobil ime po Jamesu E. Webbu, ki je od 1961 do 1968 vodil agencijo NASA in je imel osrednjo vlogo v programu Apollo.
Edina alternativa origami principu je tehnologija, ki bo v vesolju izdelovala komponente. Eden od projektov je samodejna vesoljska ladja Archinavt, ki bo izdelovala preko 3D tiskalnike komponente za satelite, velike teleskope ... in jih hkrati zlagala v celoto. Surovine bodo najprej prihajale z Zemlje, pozneje pa morebiti z Lune, asteroidov ... A origami bo še zmeraj dopolnilni princip bodočih tehnologij.

Eyeglass teleskop iz origami Fresnelovih komponent.

Določenih matematičnih ugank iz antike tudi Evklidovi aksiomi, oziroma postulati, niso rešili. Recimo kako razdeliti kot na tri enake dele ali kako dvakrat povečati kocko (faktor za množenje stranice je x = 2^1/3). Kot bomo videli, se da ti dve uganki rešiti na osnovi razdelitve kvadrata na tri enake dele. Primeri sledijo.

Uganke iz antične zgodovine
-----------------------------------
Vedež iz apolonovega svetišča na otoku Delosu je prerokoval ljudstvu v Atenah, da se bo rešilo kuge, če bodo njegov oltar v obliki kocke povečali tako, da bo njegova prostornina dvakrat večja od prvotne. Najbrž so delski problem zaupali Platonu, ki ga je predložil geometrom v svoji Akademiji. Dejansko so se s podvojitvijo kocke ukvarjali številni grški matematiki (Menhmus, Arhitras, Evdoks, Eratosten, Papus, Diokles, Hipokrat) - in tudi prišli do rešitve. Vendar pa noben od njih ni rešil naloge z evklidskim orodjem, ker to ni mogoče. Jedro problema je namreč v konstrukciji števila 2^1/3, ki ni mogoča z evklidskim orodjem. Trden dokaz, da to ni mogoče, so matematiki našli šele v 19. stoletju. Origami (pregibanje s papirjem) pa omogoča konstruirati naravna števila, racionalna števila, njihove kvadratne korene in števila oblike a + a^1/2 in tudi števila oblike 2^1/3.
Znana je tudi zgodba matematično neukega grškega pesnika. Pisal je o kralju Minosu, ki ni bil zadovoljen z grobnico svojega sina Glavka. Zahteval je dvakrat večjo grobnico in napačno sklepal, da je to mogoče doseči s podvojitvijo vseh njenih dimenzij. To napako so nato reševali matematiki ... (zgodbi povzeti po ŽIT 2017/02)

Kaj pravi Evklid.
Evklidovo delo se začenja z naslednjimi petimi postulati, aksiomi (zapisano v sodobnem matematičnem jeziku):
a) Skozi poljubni dve točki poteka točno ena premica.
b) Premica je neomejena - lahko jo podaljšamo v neskončnost.
c) Za katerokoli daljico obstaja krožnica, ki ima to daljico za polmer in eno od krajišč za središče.
d) Vsi pravi koti so med sabo skladni.
f) Če poljubni premici sekamo s tretjo premico (prečnico) in je vsota notranjih kotov na eni strani prečnice manjša od dveh pravih kotov, potem se dani premici sekata na tej strani prečnice.

Peti postulat: če je alfa + beta < 180°, se premici h in k sekata v točki S.
Peti postulat je nekoliko nerodno formuliran. Poznejši matematiki so ga nadomestili z aksiomom o vzporednici, ki je razumljivejši, po matematičnem pomenu pa je enakovreden:
Skozi poljubno točko T, ki ne leži na premici p, poteka točno ena vzporednica k premici p.

Po Evklidu nastopi origami
-------------------------------
Prepogibanje papirja - origami - pa je komaj pred nekaj desetletji razrešilo določene stare antične matematične uganke (brez uporabe kalkulatorjev in rač. grafike, ...). Huzita–Hatori-Justinovi aksiomi origami geometrije pa so podani pod primeri.

Poglejmo si torej rešitvi dveh ugank preko kvadrata razdeljenega na tri enake dele:

* Kako razdeliti kvadrat na tri enake dele?

'a' je stranica kvadrata,
iščemo a/3.

Kvadratni papir s stranico 'a' prepognemo po diagonali, nato čež polovico, nakar še iz polovice proti vogalu. Presečišče zadnjega prepogiba in diagonale da a/3.
Spodnji rešitvi sta nadaljevanje razdelitve kvadrata na tri enake dele.

* Kako razdeliti kot na tri enake dele?

* Kako dvakrat povečati kocko (faktor za množenje stranice je x = 2^1/3 ?
V = 2Vo sledi (xa)³ = 2a³
x = 2^1/3 (za rešitev je dovolj zgolj en sam dodaten pregib, rešitev je našel Peter Messer)

Sledi dokaz (glej levo sliko in oznake):
CB = 1
AC = x
AB = x + 1 (stranica kvadrata)
CI = (x + 1)/3
BF = 2(x + 1)/3
CF = 2(x + 1)/3 - 1 = (2x - 1)/3
d = BJ
CJ = x + 1 - d
d² + 1 = (x + 1 - d)² (Pitagorov izrek)
d = (x² + 2x)/(2x + 2)
- sledijo razmerja stranic podobnih pravokotnih trikotnikov CFI, CBJ, saj je kot gama enak kotu alfa,
CI = (x + 1)/3
d/(x + 1 - d) = ((2x - 1)/3)/((x + 1)/3) = (2x - 1)/(x + 1)
(x² + 2x)/(x² + 2x + 2) = (2x - 1)/(x + 1)
x³ + 3x² + 2x = 2x³ + 3x² + 2x - 2
x³ = 2 oziroma x = 2^1/3(in to je elegantna rešitev zgolj s prepogibanjem papirja).

Viri:
http://www.origami-resource-center.com/divide-paper-into-thirds-3.html
http://www.origami-resource-center.com/divide-paper-into-nths.html
https://www.sciencenews.org/article/trisecting-angle-origami
http://matheducators.stackexchange.com/questions/9784/impossibility-of-trisecting-the-angle-doubling-the-cube-and-alike-what-are-rea
http://www.cutoutfoldup.com/409-double-a-cube.php
https://plus.maths.org/content/power-origami-1
https://plus.maths.org/content/power-origami

The genius of origami (Genialnost origamija)

Huzita–Hatori-Justinovi aksiomi origami geometrije

O1) Skozi dve različni točki p1 in p2 lahko naredimo samo en pregib.
O2) Obstaja en sam pregib, s katerim dano točko p1 prenesemo na dano točko p2 in p1 ni enaka p2.
O3) Obstajata dva pregiba, s katerima dano premico l1 prenesemo na dano premico l2, če se premici sekata in en sam, če sta premici vzporedni.
O4) Samo na en sam način lahko naredimo pravokoten pregib, skozi dano točko p1 na dano premico l1.
O5) Obstaja samo en pregib skozi dano točko p2, prek katerega se točka p1 prezrcali na dano premico l1.
O6) Če sta dani različni premici l1 in l2, ki se sekata in različni točki p1 in p2, obstaja natančno en pregib, prek katerega se točka p1 prezcali na premico l1 in se točka p2 prezcali na premico l2.
O7) Če so dane točka p ter premici l1 in l2, obstaja pregib, ki točko p preslika na premico l1 in je pregib pravokoten na premico l2.

Sedmi aksiom je leta 2001 dodal Koširo Hatori. Prvih šest pa je objavil Humiaki Huzita, Jacques Justin pa jih je vseh 7 (baje) odkril že leta 1986, a jih ni objavil. Imen je več in tudi letnic odkritij. Nič novega v zgodovini - vsaka velika država si prilašča vsa velika odkritja - resnico pa pozna le On. Saj poznate naslednjo modrost. Med kritičnimi zgodovinarji priljubljen epigram pravi: "Bog je vsemogočen, a celo On ne more spreminjati preteklosti. Za to je ustvaril zgodovinarje." John Stachel, 1983 (rojen 29. mar. 1928 - fizik in filozof znanosti)

Slike k aksiomom so spodaj (angleški in slovenski tekst).

Just as Euclid devised axioms for planar geometry, the modern mathematicians Humiaki Huzita and Koshiro Hatori devised a complete set of axioms to describe origami geometry — the Huzita–Hatori axioms (click here to skip the axioms and see the rest of the article):

Axiom 1: Given two points $p_1$ and $p_2$ , there is a unique fold that passes through both of them.
[Skozi dve različni točki p1 in p2 lahko naredimo samo en pregib.]

Axiom 2: Given two points $p_1$ and $p_2$ , there is a unique fold that places $p_1$ onto $p_2$ .
[Obstaja en sam pregib, s katerim dano točko p1 prenesemo na dano točko p2 in p1 ni enaka p2.]

Axiom 3: Given two lines $l_1$ and $l_2$ , there is a fold that places $l_1$ onto $l_2$ .
[Obstajata dva pregiba, s katerima dano premico l1 prenesemo na dano premico l2, če se premici sekata in en sam, če sta premici vzporedni.]

Axiom 4: Given a point $p_1$ and a line $l_1$ , there is a unique fold perpendicular to $l_1$ that passes through point $p_1$ .
[Samo na en sam način lahko naredimo pravokoten pregib, skozi dano točko p1 na dano premico l1.]

Axiom 5: Given two points $p_1$ and $p_2$ and a line $l_1$ , there is a fold that places $p_1$ onto $l_1$ and passes through $p_2$ .
[Obstaja samo en pregib skozi dano točko p2, prek katerega se točka p1 prezrcali na dano premico l1. ]

Axiom 6: Given two points $p_1$ and $p_2$ and two lines $l_1$ and $l_2$ , there is a fold that places $p_1$ onto $l_1$ and $p_2$ onto $l_2$ .
[Če sta dani različni premici l1 in l2, ki se sekata in različni točki p1 in p2, obstaja natančno en pregib, prek katerega se točka p1 prezcali na premico l1 in se točka p2 prezcali na premico l2.]

Axiom 7: Given one point $p$ and two lines $l_1$ and $l_2$ , there is a fold that places $p$ onto $l_1$ and is perpendicular to $l_2$ .
[Če so dane točka p ter premici l1 in l2, obstaja pregib, ki točko p preslika na premico l1 in je pregib pravokoten na premico l2.]

Kazuo Haga pokaže kako računamo ulomke s pomočjo pregibanja papirja.

Sledi izpeljava, glejte zgornjo sliko, za podobna trikotnika velja:
d/x = (1-x)/z, velja d = x(1-x)/z, oziroma 1-d = (z - x(1-x))/z
z²/(z² + (1-x)²) = x²/(1-d)²
- v kvadrat zapisanega razmerje vstavim 1-d = (z - x(1-x))/z
z²/(z² + (1-x)²) = z²x²/(z - x(1-x))²
z² - 2zx(1-x) + x²(1-x)² = x²z² + x²(1-x)²
z² - 2zx(1-x) = x²z²
(1 - x²)z² = 2zx(1-x)
(1 - x)(1 + x)z = 2x(1-x)
Rezultat po krajšanju je:
Z = 2x/(1+x)
w = z/2 = x/(1+x)


Sledijo primeri še nekaterih ulomkov - sami izpeljite povezave glede na sliko spodaj
 
AP = x 
BQ = 2x/(1+x)
QC = (1-x)/(1+x)
AR = (1-x²)/2 
PQ = (1+x²)/(1+x) 
-------------------------------
AP	BQ	QC	AR	PQ        
1/2 	2/3 	1/3 	3/8 	5/6
1/3 	1/2 	1/2 	4/9 	5/6
2/3 	4/5 	1/5 	5/18 	13/15
1/5 	1/3 	2/3 	12/25   13/15

Primeri origamijev - en kos papirja in taka umetnina!

Vir: https://en.wikipedia.org/wiki/Origami

Zgodovina origamija (zvijanje papirja)
Najbolj pogosto origami povezujemo z izumom papirja na Kitajskem okrog 2. stoletju pr. Kr. Pravi razcvet je doživel na Japonskem, kjer se obravnava kot del nacionalne umetnosti. Poleg Japonske, so to spretnost posvojili tudi v drugih delih sveta, recimo v Španiji, kjer je znan pod imenom "papiroflexia".
Že v 8. stoletju je origami postal sestavni del različnih slovesnostih na Japonskem. Samuraji so izmenjevali darila z okraski "tuti" - to so umetelno prepognjeni trakovi papirja. Med obredi šintoističnih porok, so uporabljali origami metulje, ki simbolizirajo mladoporočenca.

Primer origami ptice iz 1797 - Japonska.
https://es.wikipedia.org/wiki/Origami

Z vsako gubo se določena količina papirja izgubi za dodatno zgibanje. Funkcija minimalne potrebne dolžine papirja 'L' pri pregibanju papirja (poljubnega materiala) pri debelini 't' in 'n' pregibih je:

Papir je seveda lahko daljši. Funkcijo je izpeljal Gallivan leta 2001. Člen t2ⁿ je hkrati mnogokratnik osnovne debeline 't' pri pri 'n' pregibih papirja (če pregibamo 1x, je debelina plasti podvojena t*2, če ta papir še prepognemo n=2, podvojimo, je nova debelina t4 = t2², če ponovimo vajo in je pregibov n=3, je skupna debelina osmih plasti kar t8 = t2³; splošna formula skupne debeline 'd' zloženih plasti pri n pregibih je torej: d = t2ⁿ). Pokazal je tudi, da se list papirja lahko prepolovi na polovico 12-krat, v nasprotju s splošnim prepričanjem, da se papir vseh velikosti lahko zloži največ osemkrat.

Zaključek
Kot otroci pa smo praktično vsi iz papirja s pregibanjem izdelovali letala, rakete, okraske, ladjice, kape, zmaje, "plonk - listke v obliki harmonike", tako da nam origami ni tuj, ne da bi pri tem kaj veliko razmišljali o matematiki.

Danes se mnogi jezijo, da je vse, kar je ostalo v šolskih programov od tehnične in rokodelske dediščine, zgolj še papir, origami (zlaganje papirja, delanje papirnatih ladjic ...). Če je temu tako, je to pot nazaj. Če pa otroci še papirnate ladjice ne znajo več narediti - pa je to konec praktične pedagogike. Torej origami vsekakor ja, naj pride v šolske programe, a zraven njega so nujno potrebne vsaj še naslednje spretnosti:
modelarstvo (letala, rakete, ladje, avtomobilči, ...), delo z lesom, delo z glino, delo s kovinami, osnove elektrotehnike (tudi spajkanje), vrtnarjenje, sadjarstvo, gozdarstvo, fotografija, delo z živalmi, ...

Zgodnji model teleskopa James Webb v polnem obsegu na ogled v NASA Goddard Space Flight Center. Vse to se je po principu origamija zložilo v paket, ki je z raketo Ariane 5 leta 2021 uspešno poletel do Lagrangove točke L2 sistema Sonce-Zemlja, približno 1,5 milijona km vstran od Zemlje.

Vesoljski teleskop Jamesa Webba v celoti sestavljen in v origami zloženem položaju v čisti sobi v Kourouji, tik preden je bil nameščen v nosilno raketo Ariane 5; tehnik desno na dnu fotografije je za merilo.

Primerjava velikosti zrcal vesoljskih teleskopov Spitzer, Hubble in James Webb. Brez origami principa bi James Webb moral po koščkih preko veliko misij potovati v vesolje, recimo ...

Nekaj vaj:
http://operationmigration.org/Origami.pdf
https://courses.csail.mit.edu/6.849/fall10/lectures/L23_images.pdf
http://www.origami-fun.com/printable-origami.html
http://tabor-2013.famnit.upr.si/predavanja/tabor2012_Kuzma.pdf

Povzel: ZORKO Vičar

E-POŠTA, RFC-822: Zorko.Vicar@guest.arnes.si

Nazaj na aktualno stran.
Nazaj na domačo stran.