Akrecija v dvojnem zvezdnem sistemu

1 ) UVOD

Akrecija (lat. "accretio" - "zraščanje"; accretion, rast, zrast; prirastek nebesnega objekta zaradi trkov, padanja snovi iz okolice) je v astronomiji dobila veljavo po letu 1968, ko sta Prendergast in Burbridge zaznala rentgensko sevanje. Kmalu so nastali modeli, s katerimi so poskušali pojasniti izvor sevanja. Med najbolj uspešnimi je model akrecije v dvojnem sistemu. Sam izvor sevanja je v povezavi s fenomenom kompaktnih objektov - to so bele pritlikavke, nevtronske zvezde in črne luknje.

Za lažje razumevanje pojava si oglejmo preprost primer vpada delcev na kompaktni objekt. Delci, ki imajo daleč vstran od kompaktne zvezde hitrost v_∞ in gostoto n_∞ =N/V, naj padajo na zvezdo le z ene strani (slika 1).

Slika 1. Vpad delcev na kompaktni objekt.

Blizu površine imajo delci parabolično hitrost: v_p=(2GM/R)^1/2, naj bo v_∞<<v_p. Maksimalna vrtilna količina ujetih delcev je: Γ _m=mv_p R. Zanima nas parameter trčenja l_m, ki ustreza tangentnemu vpadu na površino zvezde. Vsi delci, ki se gibljejo proti zvezdi in katerih vrtilna količina je manjša od Γ _m , bodo prej ali slej padli na površino. Iz zakona o ohranitvi vrtilne količine za vsak padajoč delec dobimo: l_mv_∞m=Rv_pm. Sipalni presek kompaktnega objekta za tok delcev s hitrostjo v_∞ pa je: σ _k=π l²=π (v_p/v_∞ )²R². Končno lahko zapišemo masni tok dM/dt= M'

(1) M'=mn_∞ v_∞ σ _k=π ρ _∞ 2GR/v_∞ =π r_g²cρ _∞ (c/v_∞ )(R/r_g)

Pri čemer je r _g=2GM/c² Schwarztschildov radij.

Za zelo goste kompaktne objekte (nevtronske zvezde, črne luknje) naša izpeljava ni korektna. Rezultat korektnega računa se ujema z zgornjim, če postavimo R/r_g=4 v limiti, ko gre polmer kompaktnega objekta R proti r_g.

Izračunajmo še moč, ki se sprošča na površini kompaktnega objekta, ko pade nanj masni tok M'. Vzamemo lahko, da vsak delec, ki pade na površino zvezde, izgubi vso kinetično energijo, ki se pretvori v toploto, oziroma sevanje. Sproščena energija na enoto mase je E/m=v²_p/2 (ker je v_∞ <<v_p ). Sproščena moč je enaka izsevu: L=(E/m)M'=r_gGMρ_∞ c²/v_∞. Po zadnji formuli bi mogli sklepati, da lahko dosežemo z akrecijo poljubno velike izseve, kar pa ni čisto res. Izpeljani rezultat velja namreč samo dokler smemo obravnavati posamezne delce (atome) kot neodvisne od sosedov, to pomeni, dokler je prosta pot v plinu primerljiva s premerom zvezde. Pri večjih gostotah je potrebno upoštevati tlak, kar naredi račun zapleten. Vendar pa je Eddington našel preprost argument, ki daje zgornjo mejo za izsev pri akreciji na kompaktni objekt. Računal je takole. V bližini kompaktnega objekta je plin gost in ioniziran. Na elektron v takem plinu deluje sevalna sila navzven zaradi sevanja kompaktnega objekta (učinek na proton je bistveno manjši zaradi njegove veliko večje mase pri enakem naboju). Zaradi močnih elektrostatičnih sil med elektroni in vodikovimi jedri pa deluje sila tako na elektrone kot na protone. Če bi bila sevalna sila na elektron in proton večja od gravitacijske privlačne sile, bi se akrecija ustavila. Gravitacijska privlačna sila je Fg=GMm/r². Sevalna sila, ki deluje v nasprotni smeri, pa ima velikost
Fs=jσ _r/c=Lσ_r/(4π r²c) - obe sili imata enako odvisnost od r. Največji možni izsev je določen z minimalno prevlado gravitacijske nad sevalno silo, torej:
GMm/r² ≥ Lσ_r/(4πr²c). Od tod sledi Eddingtonova limita za maksimalni izsev:
(2) L_krit=4πMmGc/σ _r=3*10⁴L_oM/M_o=1,3*10³¹WM/M_o

2) ZAPRT SISTEM DVEH ZVEZD

Sestavljata ga normalna zvezda in kompaktna zvezda. Zaprt dvojni sistem je tak, da sta si zvezdi tako blizu, da je manjša zvezda v atmosferi večje. Razdalja med centroma obeh mas je manjša ali enaka premeru normalne zvezde (a' ≈ 2R_N). To je tesni dvojni sistem. Take dvojne sisteme najdemo v Cyg x-1 in Cen x-3. Značilne mase so od 1 do 20 M _o in razdalje med centri so od 10⁶ do 10⁷ km. Obhodni časi t pa so od 1 do 5 dni.

Za analizo toka plina iz normalne na kompaktno zvezdo uporabimo koordinatni sistem, ki se vrti skupaj z binarnim sistemom, to je s Keplerjevo kotno hitrostjo ω =(G(M_N+M_k)/a³)^1/2. Napišimo Navier-Stokesovo enačbo:

(3) dv/dt + grad(Φ _gc) + 2(ω xv)=-(1/ρ )grad(p) + (2η /ρ )div(def (v))

Pri čemer je v relativna hitrost plina glede na rotirajoči sistem, η koeficient viskoznosti in def(v) tenzor deformacijske hitrosti plina.

(4) Φ _gc = Φ _c + Φ _g = -G( M_N/|r-r_N| + M_K/|r-r_K|) - (ω xr)²/2

-r_N in r_K sta razdalji obeh centrov mas od težišča sistema. Za kvalitativno sklepanje o naravi toka plina iz normalne na kompaktno zvezdo si podrobneje oglejmo potencial (4).

3) POTEK POTENCIALA

Velja:
cos(π - φ) = -cos(φ)
Velikost razlike vektorjev je:
|r-r_N| = (r² + r_N² - 2rr_Ncos(π - φ))^1/2 = (r² + r_N² + 2rr_Ncos(φ))^1/2
|r-r_K| = (r² + r_K² - 2rr_Kcos(φ))^1/2

Potencial (4) lahko zapišemo tudi v naslednji obliki:

Φ_gc = -G( M_N/(r² + r_N² + 2rr_Ncos(φ ) )^1/2 + M_K/(r² + r_K² - 2rr_Kcos(φ ) )^1/2 ) - ω ²r²/2

Poiščimo lokalne stacionarne točke, z znanima pogojema, parcialna odvoda morata biti 0.


Rešitve zahtevajo numerično reševanje (velja: R = r_N + r_K, za ω smo vstavili Keplerjevo vrednost ω² = G(M_N+M_K)/(r_N + r_K)³ ). Odvod ∂ Φ_gc/∂ r=0, je po odvajanju pomnožen z r - tako se lažje najde rešitve. Seveda smo povsod okrajšali gravitacijsko konstanto G.

Manjša telesa (zelena) v Lagrangeovih točkah ležijo v območju ravnovesja sil (recimo dveh zvezd). V kateri koli drugi točki gravitacijske sile prevladajo in telesa se začnejo premikati proti enemu od obeh masivnih teles, recimo proti zvezdama (lahko tudi izven sistema za točko L2).
Vir: WIKI

Po domače si lahko Lagrangeeve točke predstavljamo kot sile na majhno telo med kroženjem v bližini dveh velikih teles, kjer so - sila zaradi rotacije in obe gravitacijski sili - v ravnovesju (primer vrteče se gramofonske plošče, če nanjo položimo majhno železno kroglico, bo sredobežna sila rotacije kroglico zabrisala s plošče, če pa je v osi vrtenja plošče recimo magnet, bo le ta na določeni razdalji r od središča zadržal kroglico na plošči, kjer se obe sili izničita; privlačna in njej nasprotna sistemska sredobežna sila zaradi rotacije – tej točki lahko rečemo stacionarna ali Lagrangeeva točka – ni pa to zelo stabilna lega).

Na sliki 2 je prikazan potek potenciala Φ_gc za razmerje mas M_N/M_K=10. Slika je narisana v enotah G(M_N + M_K)/a.

Slika 2a. Sklenjene krivulje potenciala Φ_gc so preseki ekvipotencialnih ploskev. Na sliki je prikazan potek potenciala Φ_gc za razmerje mas M_N/M_K=10.
Slika je narisana v enotah G(M_N + M_K)/a.


Slika 2b. Izjemno nazorna 3D predstavitev potenciala dvojnega sistema, narisal Miha Juras na Mladinskem astronomskem taboru MART 1994 (Ivančna Gorica, 8.-17. julij 1994, mentor Zorko Vičar).


Slika 2c. Izjemno nazorna 3D predstavitev potenciala sistema štirih zvezd, narisal Miha Juras na Mladinskem astronomskem taboru MART 1994 (Ivančna Gorica, 8.-17. Julij, mentor Zorko Vičar).

Slika 2d. Še ena zanimiva predstavitev potenciala dvojnega sistema.

Poiščimo lokalne stacionarne točke, z znanim pogojem
∇ Φ_gc = 0, ( ∂ Φ_gc/∂ r=0 in ∂ Φ_gc/∂ φ =0 ). Te točke se imenujejo tudi Lagrangeve točke in so na sliki označene z L. Točki L4 in L5 sta ekstrema, L1, L2 in L3 pa so sedelne točke.

Prva potencialna krivulja od znotraj navzven označuje Rochevo mejo. Znotraj meja, a zunaj zvezdinega površja, prevladuje potencial normalne zvezde. Zunaj meje sta Lagrangevi točki L4 in L5, ki sta stabilni za delce kljub dejstvu, da sta ekstrema. Vzrok tej stabilnosti je Coriolisova sila. V sistemu Zemlja, Luna so v L4 in L5 astronomi opazili zgoščena oblaka. Prav tako vsebuje sistem Sonce-Jupiter v L4 in L5 asteroide imenovane Trojanci (odkril jih je Wolf leta 1906).

4) TOK PLINA IZ NORMALNE NA KOMPAKTNO ZVEZDO

Posebno važna je Rocheva meja, ki določa največjo možno ekspanzijo zvezdine atmosfere. Iz slike 2 je razvidno, da pri L1 potencial lokalno doseže vrh - Rochevo mejo in nato začne padati v smeri kompaktne zvezde.

Če je površina normalne zvezde znotraj Rocheve meje, potem je edini mehanizem za prenos plina na kompaktno zvezdo zvezdni veter, ki piha s površine z ubežno hitrostjo. Ker je ubežna hitrost iz normalne zvezde po navadi mnogo večja od hitrosti zvoka v plinu
( (χP/ρ )^1/2<<(2GM/R)^1/2), lahko pri akreciji na kompaktno zvezdo pričakujemo udarni val. Kompaktna zvezda bo ujela samo tisti del plina, ki piha v njeni smeri.

Če pa atmosfera normalne zvezde sega čez Rochevo mejo, se mora njena atmosfera pretakati na kompaktno sosedo skozi "šobo" pri L1 (slika 3).

Kvalitativno sliko o toku razberemo iz Navier-Stokesove enačbe 3. Plin teče skozi šobo L1 na kompaktno zvezdo. Po prehodu skozi šobo se mu poveča hitrost na račun potencialne energije. Coriolisova sila ga odkloni v desno, gravitacijska sila kompaktne zvezde pa v levo. Pritekajoči plin zaradi viskoznosti reagira s plinom, ki je že okrog kompaktne zvezde in tvori tako imenovani akrecijski disk. Večji del plina ostane v disku, ostali del pa pridobi vrtilno količino zaradi viskoznih sil in ga vrže ven iz diska nazaj na kompaktno zvezdo ali skozi L2 iz sistema.

Če deluje pretvarjanje kinetične in potencialne energije v sevanje predvsem v plasteh diska, ki so blizu kompaktne zvezde, lahko opišemo dogajanje v disku, ne da bi natanko poznali kvantitativen potek selitve plina iz normalne na kompaktno zvezdo.

5) DISK IN OHRANITVENI ZAKONI

  Slika 4. Shematični prikaz diska okrog kompaktne zvezde.

Zaradi viskoznega trenja znotraj diska, ki je posledica naraščanja obhodne hitrosti plina s padajočim polmerom, se sprošča toplota, ki jo disk odda v obliki sevanja. Obravnavali bomo primer, ko je izsev (svetlobna moč) dosti manjši od kritičnega (2), zato je tudi majhna hitrost akrecije (M'). Privzamemo, da lahko gibanje plina na razdalji r od kompaktne zvezde obravnavamo kot Keplerjevo. Torej je vrtilna količina na enoto mase pri radiju r:
Γ=(GM_K/r³)^1/2r²=(GM_Kr)^1/2. Potem, ko se plin spusti od r1 do r2, je moral na enoto mase oddati vrtilno količino: Δ Γ =(GM_K)^1/2(r2^1/2-r1^1/2). Pri toku akrecije M', mora odtekati tok vrtilne količine: Γ '=M'(GM_Kr)^1/2. Zaradi majhne viskoznosti so radialne hitrosti (v_r) veliko manjše od obhodnih hitrosti (v_φ ). Velja |v_r|<<|v_φ|. Tenzor deformacijske hitrosti se zato zapiše v naslednji obliki:

 
         |∂vx/∂x               1/2(∂vx/∂y + ∂vy/∂x)      0|      
(def(v))=|1/2(∂vx/∂y + ∂vy/∂x)          ∂vy/∂y           0|
         |0                                0            0|  
 
   V kartezičnih koordinatah.   

  

            |0       σφr     0|      
   (def(v))=|σφr     0       0|   
            |0       0       0|   

    V cilindričnih koordinatah.   

  
  
Pri čemer je σφr=(∂vφ/∂r - vφ/r)/2             
Komponenta tenzorja viskozne napetosti tφr je: 

Stacionarno stanje določajo štirje osnovni zakoni: ohranitev mase, vrtilne količine, energije, gibalne količine.

a) Ohranitev mase

Masni tok je enak na vseh oddaljenostih od kompaktnega objekta, zato lahko zapišemo -2πr∑v_r =M', pri čemer je ∑=2zρ gostota na enoto površine.

b) Vrtilna količina

Če opazujemo disk med r in Ro, potem priteka v ta del vrtilna količina M'(M_KGr)^1/2, pri Ro pa odteka M'(M_KGRo)^1/2 . Torej je tok vrtilne količine, ki ga poganja viskoznost:

(6) Δ Γ '= M'(M_KG)^1/2( (r)^1/2-(Ro)^1/2 )

Po zakonu o vrtilni količini poganja ta tok navor: 2π r2z_ot_rr, od koder sledi zveza:

2z_ot_r= (M'(M_KG)^1/2/(2π r²))( (r)^1/2 -(Ro)^1/2 ) ≈ M'(M_KGr)^1/2/r² za r >> Ro

c) Energijski zakon

Moč proizvedena na enoto volumna zaradi viskoznosti je:

ε =∑ _ikt_ik(def(v))_ik=2η Tr(def(v))²=4η (σ _{φ r})² .
Ta moč je po energijskem zakonu enaka izsevu. Gostota skupnega izsevanega toka (j) je enaka proizvedeni moči na enoto ploščine:

(7) 2j=2z_oε =-2σ _{φ r}2z_ot_{φ r}=(3M'M_KG/(4π r²r))( (1 -(Ro/r)^1/2 )

Od tod sledi, da je sproščena moč med r1 in r2:

(8) P=_r1∫^r22z_oε2π rdr= =(3/2)M'M_KG( ( 1 -2(Ro/r1)^1/2/3)/r1 - ( 1 -2(Ro/r2)^1/2/3)/r2 ) ≈ (3/2)M'M_KG(1/r1-1/r2) za r2>r1>>Ro

Rezultat nas nekoliko zmede. Zakaj faktor 3/2 in ne 1/2 kot bi pričakovali? Skušajmo pojasniti izvor sproščene energije med r1 in r2. Sproščena gravitacijska potencialna energija je: M'M _K G(1/r1-1/r2), toda samo polovica te energije lahko gre v toploto, a ostalo gre v obhodno kinetično energijo (virialni teorem 2<T>=-Ep). Torej je
ΔE'_top= (1/2)M'M_KG(1/r1-1/r2). Pomembno je vzeti v račun, da viskozne sile razen vrtilne količine prenašajo še energijo. Prenešena energija čez radij r je:

E'=ω (2π r2z_ot_{j r}r) =M'M_KG( (1 -(Ro/r)^1/2)/r.

Oddana energija med r1 in r2 je: Δ E'= (1/2)M'M_KG(1/r1-1/r2). Vsota obeh nam da rezultat 8. Izračunajmo zdaj celotno izsevano moč P_L:

Pc=_Ro∫^∞ 2j2π rdr=M'M_KG/(2Ro)

To je rezultat, ki smo ga pričakovali. Torej je vzrok navideznega paradoksa transport energije. To pomeni, da energija, proizvedena zaradi viskoznosti med r-(r-dr) ni nujno izsevana na tem intervalu (dr), ampak je prenešena proti robu diska in tam izsevana.      

   j=3M'MKG( (1 -(Ro/r)1/2 )/(8πr3)     P=3M'MKG( (1 -2(Ro/r)1/2/3 )/(2r)     
   rmaks=1,36 Ro                        rmaks=Ro   
   j(rmaks)=3*66M'MKG/(8πRo77)           P(rmaks)=M'MKG/(2Ro)   

d) Vertikalno ravnovesje sil
Pomagajmo si s sliko 6.

Slika 6. Slika prikazuje silo gravitacije Fg in njeno komponento Fz, katera deluje na maso Δm v smeri pravokotno na ekvatorialno ravnino.

Da masa Δm ne pade v ekvatorialno ravnino, mora silo Fz uravnovesiti vertikalna sila tlaka. Iz povedanega sledi, da je debelina diska določena z ravnovesjem med silo tlaka na enoto mase ((1/ρ )∂ P/∂ z) in silo Fz/Δ m. Izračunajmo še vrednost sile Fz pri radiju r:

Fz/Δ m=∂ (M_KG/(r²+z²)^1/2) /∂ z ≈ GM_Kz/r³ za z/r<<1.

Ko sta sili v ravnovesju, velja:
(9) -(1/ρ )∂ P/∂ z= GM_Kz/r³ Zapišimo izraz 9 v integralni obliki in po integraciji dobimo približno vrednost za debelino diska.

-(r³/(ρ GM_K))_P∫ ⁰dP=₀∫ ^Zozdz sledi Zo≈ (Pr³/(ρ GM_K))^1/2

Upoštevajmo še, da je hitrost zvoka v plinu Cz=(P/ρ)^1/2 in kotna hitrost ω=(GM_K/r³)^1/2 . Tako se polovična debelina diska preprosto izrazi kot Zo≈Cz/ω. Ta račun je približen, ker ne poznamo podrobnosti o disku.

5) SPEKTER DISKA

Predpostavimo, da disk seva kot črno telo, po zakonu našega znamenitega rojaka Jožefa Stefana velja:
(10) j=σT⁴.

T=(3 10⁷K)*(M'/(10^-3Mo/leto ))^1/4*(M/Mo)^-1/2*(Mr_g/(rMo))^3/4*(1-(Ro/r)^1/2 )^1/4

Največ svetlobe je emitirano pri (Mr _g)/( rMo)=10 za črne luknje in nevtronske zvezde ter (Mr_g)/(rMo)=10^-4 za bele pritlikavke. Energijo fotona zapišemo s pomočjo valovne dolžine hν_m = hc/λ_m . Lambda maksimalni, kjer je gostota izsevanega toka največja, pa izračunamo iz Wienovega zakona: hc/λ_m = hcT/Kw=(2,44 10^-4eV)(T/K). Za T vstavimo izraz 10 in dobimo naslednje vrednosti za energijo izsevanega fotona:

hν_m = (1KeV)(M'/(10^-9Mo/leto))^1/4(M/Mo)^-1/2 za nevtronske zvezde in črne luknje
hν_m = (0,01KeV)(M'/(10^-9Mo/leto))^1/4(M/Mo)^-1/2 za bele pritlikavke

Iz zgornjih izrazov razberemo, da so izsevane energije v mejah od 1 do 10 KeV, torej je to rentgensko sevanje.

Kljub dejstvu, da smo naredili veliko poenostavitev, se naš rezultat dobro ujema z izmerjenimi vrednostmi.

   Izmerjene vrednosti izsevanih energij za nekatere nebesne objekte:    
   Cyg x-1                          2-6   KeV   
   Ic 443                           2-10  KeV   
   MSH 15-52A                       2-10  KeV   
   Puppis A                         0,2-3 KeV   


Seminar iz fizike: Zorko Vičar
FNT Ljubljana, 1985
Seminar sem zagovarjal še pri profesorju 
dr. Ivanu Kuščerju (* 17. junij 1918, Dunaj, † 2000, Ljubljana),
ki je bil zelo strog, a nad tem seminarjem je bil po predstavitvi zelo navdušen. Kar odleglo mi je ...   
Zakaj tak strah?
Eden od študentov (kolegov) je namreč bil na seminarju ostro zavrnjen s strani Kuščerja in tudi mentorja 
(kar je bilo precej nenavadno ...) in ta dogodek nas je vse ornk prestrašil ... Spodaj (na dnu strani) 
je še nekaj zelo zanimivih anekdot iz časa študija.

LITERATURA

I.D.Novikov and K.S. Thorne: Black hole astrophysics, Gordon and Breanch science publishers, London 1972
G.D. Chagelishvili and I.G.Lominadze:Disk accretion onto black holes and magnetic fields, International centre for theoretical physics, Trieste, 1985
Andrej Čadež: Fizika zvezd, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana 1979

 



Še nekaj takratnega mojega gradiva - poučno (muzejska vrednost naše generacije).


Zapiski nastanka seminarja, zapis potenciala in pogojev za iskanje Lagrangevih točk.


Zapis programa v basicu za izris ekvipotencialnih ploskev dvojnega sistema (razmerje mas 1/10).


Izris ekvipotencialnih ploskev preko basic programa v računalniku Sinclair ZX Spectrum. Rabil sem še kasetofon za snemanje programov in televizor za prikaz ter iglični printer.


Primer folije za predstavitev, ki smo jo položili na grafoskop - pisanje vsebine, risanje slik s flomastri na folijo.


Primer strani iz oddanega seminarja pred zagovorom - kombinacija printa in pisanje formul z roko med tekst. Nato smo dopolnjene strani kopirali in vezali ter oddali.

Nakažimo podrobnejšo pot do Lagrangevih točk (L1, L2, L3, L4, L5), zapišimo še enkrat potencial dveh gravitacijsko vezanih teles, odvoda in poiščimo ničle!

Pomen tesnega dvojnega sistem je z leti v astronomiji samo naraščal - takrat (leta 1985) smo bili osredotočeni bolj na iskanje črnih lukenj, izvorov rentgenskih žarkov ...
Če na kratko ponovimo. Iščemo stacionarne točke potenciala Φ_gc z odvajanjem in iskanjem ničel odvodov - to so Lagrangeve točke, primerne recimo za nameščanje znanstvenih satelitov (sond, teleskopov ...). Na področju točk L4 in L5 pa se nabirajo asteroidi - recimo Trojanci v sistemu Jupiter - Sonce. IZJEMNO pomembne pa so tudi (recimo točka L1) v tesnih dvojnih sistemih zvezd pri pretakanju snovi iz velikih "normalnih" zvezd (N) na kompaktne zvezde (K) - recimo na bele pritlikavke ..., torej pri nastanku akrecijskih diskov. Supernova tipa Ia nastane prav v takem dvojnem sistemu in preko standardnega svetilnika eksplozije take supernove smo ugotovili šokantno dejstvo, da se vesolje pospešeno širi. Ko se prvotno bela pritlikavka poveča do Chandrasekharjeve meje, na okrog 1.4 M_☉ (2.765×10³⁰ kg), eksplodira kot supernova tipa Ia (elektroni in protoni se pod težo gravitacije združijo v nevtrone: e^- + p › ν_e + n, sprosti se veliko nevtrinov in enormne količine energije - in to kar za izsev skoraj celotne galaksije, za okrog 5 milijard Sonc).
Razumevanje dvojnega sistem nas je torej dobro desetletje po mojem seminarju pripeljalo do nenadejane rešitve uganke vesolja - in sicer, da se vesolje v resnici širi pospešeno (za ta dosežek so seveda bile podeljene Nobelove nagrade).
Ko sem delal ta seminar leta 1985, o teh izjemnih možnostih študija dvojnega sistema noben na univerzi niti ni slutil - supernove tipa Ia v povezavi z dvojnim sistemom normalne in kompaktne zvezde (bele pritlikavke), torej meritve dinamike vesolja preko mehanizma dvojni sistem, supernova in seveda nenadejani rezultati ... To so bile meritve. analize, odkritja, ki so nas "našle" (nekoliko nepripravljene) okrog leta 2000. Fantastično !!! Povejmo še, da sodobni standardni model za eksplozije supernov tipa Ia temelji na predlogu Whelana in Ibena že iz leta 1973 in privzame scenarij prenosa mase na degenerirano zvezdo spremljevalko. Iz povedanega sledi, da se splača posvetiti še nekaj strani tehničnim rešitvam, fiziki dvojnega sistema teles v vesolju.

Kot smo že omenili - potencial lahko zapišemo tudi v naslednji obliki:

Φ_gc = -G( M_N/(r² + r_N² + 2rr_Ncos(φ ) )^1/2 + M_K/(r² + r_K² - 2rr_Kcos(φ ) )^1/2 ) - ω ²r²/2

Poiščimo lokalne stacionarne točke, z znanima pogojema, parcialna odvoda morata biti 0.


Rešitve zahtevajo numerično reševanje (velja: R = r_N + r_K, za ω smo vstavili Keplerjevo vrednost ω² = G(M_N+M_K)/(r_N + r_K)³ ). Odvod ∂ Φ_gc/∂r = 0, je po odvajanju pomnožen z r - tako se lažje najde rešitve. Seveda smo povsod okrajšali gravitacijsko konstanto G.

∂Φ_gc/∂r = M_N(r² + r_Nrcos(φ) )/( r² + r_N² + 2rr_Ncos(φ) )^3/2 - M_K(r² - r_Krcos(φ) )/( r² + r_K² - 2rr_Kcos(φ) )^3/2 - r²(M_N + M_K)/R³ = 0

Pri iskanju nul najprej gledamo števce (pomnožili smo jih še z r) na zveznici obeh teles v odvodu potenciala po r, ti števci so:
M_N( r² + rr_Ncos(φ) )
M_K( r² - rr_Kcos(φ) )
r²(M_N + M_K)

Zakaj so pomembni števci v ulomku odvoda potenciala po r?
Ker je odvod potenciala enak sili na telo (imamo torej opravka z vektorskimi količinami), so torej tudi pomembni predznaki pri posamznih členih (vsota treh sil na majhno telo mora biti nič v sisemu dveh velikih nebesnih teles - to so stacionarne točke, ki jih iščemo). Vemo, da ni vseeno, kako usmerimo sile na zveznici obeh teles, če je stacionarna točka med telesoma ali izven njiju.

Enačbo, ki ostane po odvodu ∂Φ_gc/∂r = 0, bomo maksimalno preoblikovali, za končno iskanje ničel z iteracijo.
Vpeljali bomo spremenljivko x = r/r_N in tudi izpostavili M_K in računali z razmerji M_N/M_K. Upoštevali bomo tudi, da je r_K/r_N = M_N/M_K (iz definicije težišča) in tudi še, da je R = r_N + r_K = r_N(1 + r_K/r_N) = r_N (1 + M_N/M_K) . Za cos(φ) na zveznici obeh teles velja cos (0) = 1 (glej sliko).

Po preoblikovanju enačbe ∂Φ_gc/∂r = 0, za pogoj cos(0) = 1, ostane dokaj preprosta olika:

(M_M/M_K)/((x+1)*(x+1)) + 1/((x-r_K/r_M)*(x-r_K/r_M)) - x/((1 + M_N/M_K)*(1 + M_N/M_K)) = 0

Zgornja enačba je primerna takoj za iteracijo, če pa jo zapišemo še z razmejem u = M_N/M_K = r_K/r_N in uporabimo potenco 2, potem je enačba še krajša:

u/(x+1)² + 1/(x-u)² - x/(1 + u)² = 0

Enačbo lahko preoblikujemo, delimo z x:
u/(x(x+1)²) + 1/(x(x-u)²) - 1/(1 + u)² = 0
In seveda brez težav opazimo, da je enačba kubna (sicer v ulomku) in torej lahko pričakujemo TRI rešitve.

Za M_N/M_K = 10 velja:
(10)/((x+1)*(x+1)) + 1/((x-10)*(x-10)) - x/((1 + 10)*(1 + 10)) = 0

Da ta enačba ni čisto ustrezna za vse primere, poglejmo predznake za imenovalce.

L1)

Iščemo nulo za r med težisčem in kompaktnim (majhnim) telesom r_K > r > 0, na zveznici φ = 0. Srednji števec M_K( r² - rr_K) bo zato negaiven (saj v tem primeru velja rr_K > r²). Tako dobimo izraz.
(M_M/M_K)/((x+1)*(x+1)) - 1/((x-r_K/r_N)*(x-r_K/r_N)) - x/((1 + M_N/M_K)*(1 + M_N/M_K)) = 0

Preprosta shema sistema dveh teles mase MN > MK, za medsebojno razdaljo velja R = rM +rK, slika spodaj:

                    MN      težišče                                 Mk 
                     O--rM---x-----------------rK-------------------o  

Sile na majhno telo *, ki je med telesoma MN in MK, Fc je sistemska centrifugalna sila (pomembne so smeri, predznaki):
                    MN      tež.    FMN    FMK  Fc           Mk 
                     O       x     <---- * --> -->          o  
                                        L1   

Sile na majhno telo *, ki je desno od majhnega MK telesa, Fc je sistemska centrifugalna sila (pomembne so smeri, predznaki):
                    MN      tež.                                   Mk        FMN    FMK    Fc          
                     O       x                                     o         <-- * <---- ------>
                                                                                 L2   

Sile na majhno telo *, ki je levo od velikega MN telesa, Fc je sistemska centrifugalna sila (pomembne so smeri, predznaki):
FMN     FMK   Fc             MN      tež.                                  Mk                
---> * --> <-----            O       x                                     o        
    L3   

L4 in L5)


Slika za pomoč pri razumevanju iskanja eksteremov potenciala L4 in L5 izven zveznice obeh teles. V L4 in L5 je tudi vsota sil na majhno telo enaka nič - za pomoč pri razumevanju tega fenomena so narisani trije vektorji sil.

Še drugi pogoj za ekstreme je odvod po kotu: ∂Φ_gc/∂φ = 0.

Do eksplozije supernove tipa Ia lahko pride zato, ker se snov z normalne zvezde prek Lagrangeve točke L1 (leži na zožitvi toka plazme) pretaka na bližnjo belo pritlikavko. Ko tej masa naraste prek Chandrasekharjeve meje, na okrog 1.4 M_☉, se bela pritlikavka pod lastno težo sesede v nevtronsko zvezdo - eksplozija supernove tipa Ia (vir: ESA/ATG medialab/C. Carreau).

Nekaj slik dvojnih sistemov.



Jupiter ima veliko družino asteroidov Trojancev, ki se nahajajo v Lgrangeovih točkah na orbiti planeta. Trenutno je znanih približno 1800 teles. Najnovejša odkritja pa nakazujejo, da ima tudi Neptun veliko Trojancev, ki pa jih šele odkrivajo.
Iz: http://www.ifa.hawaii.edu/~sheppard/satellites/trojan.html

http://www.dtm.ciw.edu/sheppard/trojans/

Pripravil Zorko Vičar

Nazaj na domačo stran.